失業保険は勤続年数何年から受けられますか？
５年以上 ５年未満では金額が変わる境目ですか？

わかりにくいかもしれませんがお願いします)^o^(

勤続何年ではなく雇用保険の加入期間です。たとえば会社を変わったとしても、途中で失業給付を受ける、１年以上期間が空いていなければ期間をつなげることも出来ます。

失業給付は自己都合退職なら１年以上、会社都合であれば半年以上が必要です。
加入期間で日額は変わりませんが、支給される期間が変わります。
自己都合であれば１０年以上、２０年以上で変わってきます。
会社都合であれば５年刻みと年齢で変わってきます。

来月、雇用保険加入月が「４ヶ月分」しかない会社を、会社都合で退職になります。

その会社に入る２ヶ月前辞めた会社には４ヶ月居て、雇用保険に加入していました。
その会社は「自己都合」で退社しました。
現在会社都合退社の場合、雇用保険の加入月数が
「６ヶ月」でも失業保険の申請が出来ると耳にしました。

私の場合、合計「８ヶ月」雇用保険には加入していましたが
会社都合退職を理由に申請できるのでしょうか？

離職後１年以内に雇用保険に再加入した場合、通算継続（合算）扱いとなります。

ですので、質問者さんの場合、被保険者期間８ヶ月となります。

また、前職では受給要件を満たしておりませんので、現職離職票の２枚で手続きとなります。

手続きの際は、最新の離職票の離職理由が優先されますので「会社都合」扱いになります、

親が病気で会社を退職した場合、自分の扶養（社会保険）には入れますか？
病気で今後働けない場合は、失業保険の請求もできませんよね。
ですので、今月以降の収入はゼロです。
（退職金はありますが。）
病気療養中なので、すぐにでも健康保険の手続きをしたいのですが、
待機期間（？）みたいなものはあるのでしょうか？

〉病気で会社を退職した
というだけでは判断がつきません。

〉今月以降の収入はゼロです。
傷病手当金は請求していないのですか？
退職までに1年以上健康保険に加入し、退職前に手当金を受けていたか、請求すれば受けられる状態になっていて、退職日が手当の支給対象であるのなら、退職後も受けられます。
任意継続するかどうかは関係ありません。
※逆に、条件を満たしていなければ任意継続しても受けられない。


あなたの被扶養者にできる条件は、
・収入を年額換算して130万円未満（60歳未満の場合）である（日額3611円以下）
※60歳以上の場合は180万円未満
・別居なら、あなたの仕送り額が、対象者の収入よりも多いこと。

〉待機期間（？）みたいなものはあるのでしょうか？
ありません。
ただし、雇用保険基本手当（失業給付）の受給期間延長手続きをとった証明を求められるかも知れません。

失業保険の初回認定日について教えて下さい。

先月、自己都合で退職しました。失業保険の手続きを今月４日にし、初回講習を20日に受けました。
初回認定日は来月の１日なんですが、初回認定日までにあと１回は就職活動しなければならないのですよね？そして、初回認定日から次の認定日の間に３回、次の認定日とその次の認定日の間にまた３回就職活動すればいいのですか？

講習会やしおりで確認したのですが、わからなくなってしまいました。

そのとおりです。
貴方の理解で正しいですよ。
ハローワークでは、就職活動しましたかと聞かれるので、はいと答えればＯＫです。なかには、どうやってと聞く方もいるので、ネットで応募していると答えれば問題ありません。
あとは、認定日にうっかりハローワークに行くのを忘れないように気をつけましょう！

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